MAT 2 DETERMİNANT

Konu: MAT 2 DETERMİNANT

DETERMİNANTLAR Determinantlar matris teorisinin gelişmesinde büyük rol oynadığı muhakkaktır. Determinantlar tekil olmayan matrislerin karakterizasyonunda, ayrıca lineer denklem sistemlerinin çözümlerinde ve alt uzayların boyutlarını hesaplamada kolaylıklar sağlar. Ayrıca determinantlar, Analizde vektörel çarpımları, Jacobiyen ve Wronskiyenleri ifade etmekte kullanılır. Determinantların Elemanter Özellikleri Bu kısımda, bir nxn kare matrisin determinantını tanımlayacağız ve bu determinantların hesaplanması için bir yöntem vereceğiz. İlk olarak 2x2 bir matrisin determinantının tanımını ve özelliklerini veriyoruz. a11, a12, a21, a22 reel sayılar olmak üzere 2x2 tipinden bir matrisinin determinantı formülü ile tanımlanan bir reel sayıdır. Hemen not edelim ki; determinant her bir 2x2 matrisine bir reel sayı karşılık getiren bir fonksiyondur. Bu fonksiyon, ilk üçü bir 2x2 matrisin üzerinde satı işlemlerinin etkin olduğu, aşağıdaki dört önemli özelliğe sahiptir: (i) Eğer B matrisi, bir k reel sayısı ile A matrisinin bir satırının çarpılması ile A matrisinden elde edilen bir matris ise, o taktirde dır (ii) Eğer B matrisi, A matrisinin satırlarının yer değiştirilmesi ile A’dan elde edilen bir matris ise, o zaman ’dır. (iii) Eğer B matrisi; A’nın bir satırının bir skaler katının A’nın diğer satırına ilave edilmesi ile A matrisinden elde edilen bir matrisi ise, o zaman ’dır. (iv) ’dır. Bu dört özelliğin sağlandığını kontrol etmek için son derece kolaydır. Örneğin ise, o takdirde olur. Bu ise, bize (i) özelliğinin doğruluğunu gösterir. Eğer ise, o takdirde olup bu da (iii) ün doğruluğunu gösterir. Yukarıdaki dört özellik, bir 2x2 kare matrisin determinantını karakterize etmesi açısından son derece önemlidir. Yani determinant fonksiyonu, her bir 2x2 matrise bir reel sayıyı karşılık getiren ve yukarıdaki dört özelliğe sahip olan tek fonksiyondur. Teorem 4.1. Determinant fonksiyonu; 2x2 matrislerin kümesinden R reel sayılar kümesi içine tanımlanan (i), (ii), (iii) ve (iv) özelliklerine sahip tek fonksiyondur. İspat: f nin her bir 2x2 A matrisini bir f(A) reel sayısına karşılık getiren bir fonksiyon olduğunu ve aynı zamanda (i), (ii), (iii) ve (iv) özelliklerine sahip bir fonksiyon olduğunu varsayalım. Yani kabul edelim ki; (i) B matrisi, bir k reel sayısı ile A’nın bir satırını çarpmakla A’dan elde edilen bir matris olduğu zaman f (B) = k.f (A) (ii) B matrisi, A’nın satırlarının yer değiştirilmesi ile A’dan elde edilen bir matris olduğunda f (B) = -f (A) (iii) B matrisi, A’nın bir satırının bir skaler katının A’nın başka bir satırına ilave edilmesi ile A’dan elde edilen bir matris olduğunda f (B) = f (A) (iv) olsun. Buna göre; biz her 2x2 matris için f (A) = detA olduğunu göstermeliyiz. olsun. Eğer ise, o takdirde olur. Eğer ise, o zaman olur. Böylece her iki durumda da iddia edildiği gibi eşitliği gösterilmiş olur. Teorem 4.1’i aşağıdaki gibi nxn mertebeli kare matrislere genelleştirmek mümkündür: Teorem 4.2. Her nxn matrise bir reel sayıyı karşılıklı getiren ve aşağıdaki özelliklere sahip olan bir ve yalnızca bir fonksiyon, det vardır. (i) B matrisi; verilen bir nxn A matrisinin bir satırının bir reel sayısı ile çarpılması sonucu A matrisinden elde edildiği her zaman (ii) B matrisi; verilen nxn A matrisinin herhangi iki satırının yer değiştirilmesi ile A’dan elde edildiği her zaman (iii) B, nxn A matrisinin bir satırının bir skaler katının diğer bir satıra ilave edilmesi ile A’dan elde edilen matris olduğunda (iv) I, nxn birim matris olmak üzere ’dir. Teorem 4.2’de varlığı ve tekliği iddia edilen det fonksiyonuna, nxn determinant fonksiyonu denir. Her bir nxn A matrisi için detA reel sayısına A matrisinin determinantı denir. Hemen belirtelim ki; Teorem 4.2 deki (i), (ii) ve (iii) özellikleri ileride göstereceğimiz gibi satır işlemlerini kullanarak determinantı hesaplamak için kolaylık sağlar. Şimdi vereceğimiz teorem determinant fonksiyonunun iki faydalı özelliğini ifade eder. Teorem 4.3. A bir nxn kare matris olsun. Buna göre (i) Eğer A matrisinin iki satırı eşit ise, o zaman ’dır. (ii) Eğer A matrisi bir satırına sahipse, o zaman ’dır. İspat: (i) A matrisinin iki satırının eşit olduğunu farzedelim. B matrisi eşit satırların yer değiştirilmesi ile A dan elde edilen bir matris olsun. Bu halde Teorem 4.2’nin (ii) özelliğinden dolayı yazarız. Halbuki yer değiştirilen satırları eşit olduğundan dir.